毎日が数学

「1+1=2である」ことは、ほとんどの人が知ってるよね。だって、学校でそう習うから。
でも、本当にそうかな？少し疑ってみよう。

例えば、ここに2本の川が流れていたとしよう。その川が合流したら、川は何本になる？
答えは1本だ。
これって、「1+1=2」の反例じゃないの？

なぜ、「1+1=2」なんだろう。詳しく解説していくよ。

これを解説するためには、「ペアノの公理」というものを知る必要がある。

ペアノの公理は、1891年にジュゼッペ・ペアノによって定められた定義で、内容は５つあるんだ。

1.自然数0が存在する。
2.任意の自然数nについて、そのひとつ次の自然数n'(=n+1)が存在する。
3.0は最小の自然数である。
4.自然数a,bにおいて、a≠bのとき、a'≠b'である。
5.自然数論における数学的帰納法が成り立つ。

こんな感じだ。これを使って数を表すと、0'=1、1'=2、5'''=8、みたいになる。

1+1=2の証明は、この公理を使ってやっていくよ。

さっきやったペアノの公理によると、1+1は0'+0'と表すことができる。

これを式にして、数学的帰納法みたいにして導くと、

1+1=0'+0'
=(0+0)''
=0''
=1'
=2 ■

となるんだ。

じゃあ、さっきの川の例えはなんなの？と思うよね。これは実は、「示量性と示強性」が関わっているんだ。

簡単にいうと、複数のものを合成したとき、結果が足し算になるかどうか。足し算になるのは示量で、ならないのは示強。

ふつう、算数や数学における足し算では示量を使うんだ。

ちなみに、示強の主な例には、密度や温度があるよ。詳しく知りたいときは、wikipedia:示量性と示強性を見てほしい。